Corrig´e 29 Novembre 2005 Exercice 1 Formulation variationnelle 1 1 - Soit v ∈ H1(Ω), on pose v i = vΩ i et l’on multiplie la premi`ere ´equation par vi ce qui donne apr`es int´egration sur Ωi, − Z Ωi (divki∇ui) vi + Z Ωi ui vi = Z Ωi fi vi avec fi = fΩ i Nous obtenons par application de la formule de Green dans Ωi (ni d
Question 1 Construire la formulation variationnelle (FV1) associ ee a (1) Corrig e de la question 1 : En multipliant la 1 ere equation de (1) par v2H1() et en integrant sur on obtient facilement Z uvd Z uvd = Z fvd; 8v2H1() Comme uest dans H1() et u= u f 2L2(), on a u2H1(;4) On suppose pour simpli er que u2H2() On peut donc appliquer la
D´efinition 3 5 (Formulation variationnelle) Soitf ∈ L2(Ω);onditqueu est solution variationnelle de(3 1)si u est solution du probl`eme de minimisation suivant : u ∈ H 1
Ce recueil rassemble tous les exercices propos es dans le cours de deuxi eme ann ee d’introduction a l’analyse num erique et l’optimisation de Gr egoire Allaire [1] Toute r ef erence a ce dernier se distinguera des r ef erences internes au recueil par ses ca-ract eres gras Par exemple, (1 1) fait r ef erence a la premi ere formule du cours
5) Montrer que la formulation variationnelle associée au problème (P) admet une unique solution u 2V 6) Si f vérifie la condition de compatibilité, montrer que le problème (P) admet une unique solution u 2V Arij BOUZELMATE EXERCICES CORRIGÉS
Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram Exercice 1 : condition limite de type Robin Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classe C1, f ∈ C0(Ω) et g ∈ C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, et β un r´eel positif On consid`ere le probl`eme Trouver u ∈ C2(Ω) tel que −∆u = f dans Ω, βu+ ∂u ∂n
Corrig e de la question 4 : On montre facilement que ce probl eme est equivalent a la formulation variationnelle suivante : Trouver u2H1 0 telle que Z rurvd = Z fvd 1; 8v2H 0 (): (6) Pour l’ equivalence entre les 2 probl emes, voir le TD2 On munit l’espace H 1 0 de la semi-norme H En tant qu’espace ferm e de H1() et
Corrig e 6 D ecem bre 2005 Exercice 1 Interpolation dans les espaces de Sobolev et estimations d’erreur en dimension 1 Dans ce qui suit, p(x) et q(x) d esignent deux fonctions continues par morceaux d e nies sur I = ]a;b[ et v eri ant : 0 < p p(x) p < +1 p p x 2 I; 0 < q q(x) q < +1 p p x 2 I;
10 3 Formulation générale – Équation de Lippmann-Schwinger 189 10 4 Diffusion dans la situation bidimensionnelle 191 10 5 Diffusion dans la situation tridimensionnelle 198 Annexe 10 A : Fonctions de Green 201 Exercices 204 Problèmes 10 1 Résistance électrique d’un fil quantique unidimensionnel 206 10 2 Temps de Wigner et capacité
Équations aux Dérivées Partielles M1 I Transformée de Fourier dans Rd I-1 Transformée de Fourier d’une fonction L1 I-1- 1 Définitions Dans tout le chapitre, on prend d 1, et on travaille avec (Rd;B(Rd); d)
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Corrig e de la S eance 2 : Formulations variationnelles
On en d eduit la formulation variationnelle associ ee a (3) : Trouver u2H1 0 telle que Z krurvd = Z fvd; 8v2H1 0 (): (FV5) Question 2 Prouver l’unicit e de la solution de (FV3) Corrig e de la question 2 : Soient u 1, u 2 deux solutions de (FV5), alors Z kr(u 1 u 2) rvd = 0; 8v2H1 0 (): On choisit la fonction-test v= u 1 u 2 pour trouver Z kjr(u 1 u 2)j2 d = 0: ANN201 M ethode des el
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S´eance no3 Formulations variationnelles Corrig´e
a l’interface, l’int´egrale sur Σ est nulle On aboutit ainsi `a la formulation variationnelle suivante : trouver u ∈ H1(Ω) tel que (1) Z Ω ¡ k∇u·∇v +uv ¢ = Z Ω f v + Z Γ kgv, ∀v ∈ H1(Ω) 1 TD MA201 Calcul Scientifique 1 2 - On introduit la forme bilin´eaire a( , ) : H1(Ω)×H1(Ω) → R (u,v) 7→ a(u,v) = Z Ω ¡ k∇u·∇v +uv ¢ et la forme lin´eaire ‘: H1(Ω
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Analyse, séance 5 : exercices corrigés LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES Question 1 Cas des charges concentrées Sous les hypothèses du problème de diffusion vu en cours, on suppose qu’un laser fournit en un point M une quantité de chaleur Q (par unité de temps) • Montrer que, pour en tenir compte, il faut modifier la formulation faible en ajoutant Q v(M) dans L(v) Noter que l’on
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Chapitre 3 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLEMES
FORMULATION VARIATIONNELLE et comme 2 1
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Polycopié du cours MAP 431 Analyse variationnelle des
ce qu’est une formulation variationnelle La Section 1 3 est consacrée au théo-rème de Lax-Milgram qui sera l’outil essentiel permettant de démontrer des résul-tats d’existence et d’unicité de solutions de formulation variationnelle Nous verrons que pour pouvoir appliquer ce théorème il est inéluctable de devoir abandonner l’es- pace C1(Ω) des fonctions continûment diff�Taille du fichier : 962KB
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Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram
Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram Exercice 1 : condition limite de type Robin Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classe C1, f ∈ C0(Ω) et g ∈ C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, et β un r´eel positif On consid`ere le probl`eme Trouver u ∈ C2(Ω) tel que −∆u = f dans Ω, βu+ ∂u ∂n = g sur ∂Ω (1) Lorsque β > 0, on dit que la condition limite
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Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles
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Méthode des éléments finis
comme la formulation variationnelle, est important non seulement pour établir rigou-reusement un résultat d’existence-unicité de la solution mais aussi pour comprendre la dérivation des schémas numériques d’approximation de celle-ci Pour que la formulation variationnelle ait un sens, il faudrait d’abord que toutes les intégrales existent Comme et 0 sont bornées, i e dans
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corrections
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TD COR
Définition 3 5 (Formulation variationnelle) Soit f ∈ L2(Ω); on dit que u est Exercice 36 (Formulation faible pour le probl`eme de Dirichlet en 1D) Corrigé en
chap
1 Donnez sa formulation variationnelle 2 Peut-on appliquer le Théorème de Lax-Milgram ? Exercice 6 Soit γ: H1(Ω)→ L2(∂Ω) l'application trace sur ∂Ω On
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2e Année 2005-2006 Analyse, séance 4 : exercices corrigés LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES Question 1 • Définir une formulation variationnelle et
M A ec
Analyse, séance 4 : exercices corrigés LA MISE EN OEUVRE Question 1 Un exemple en dimension 1 • Définir une formulation variationnelle et un principe du
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Ex Corrig C A s EDP Pr
Formulation variationnelle et théor`eme de Lax–Milgram Exercice 2 : approximation interne (Galerkin) et lemme de Céa Corrigé Exercice 1 : condition limite de type Robin 1 Soit u solution de (1) et montrons que u est solution d'un
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Dans la suite Ω est un ouvert borné de R3
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Montrer que si β > 0 le probl`eme (2) poss`ede au plus une solution
Exercice 12.1.1 Montrer que la formulation variationnelle (12.2) est Allaire S. M. Kaber
Construire la formulation variationnelle de ce probl`eme et montrer que le théor`eme de ))−1 ( fL2(Ω) + C0 gL2(∂Ω)). Exercice 4 Inégalités de Poincaré- ...
8 janv. 2020 2(Ω). Exercice 3. Démontrer que l'unique solution u ∈ H1(Ω) de la formulation variationnelle pour tout v ∈ ...
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Donnez sa formulation variationnelle. 2. Peut-on appliquer le Théorème de Lax-Milgram ? Exercice 6. Soit ?: H1(?)? L2(??) l
29 août 2012 FORMULATION. VARIATIONNELLE DES. PROBL`EMES ELLIPTIQUES. Exercice 2.1.1 Si f est une fonction continue sur [01]
Dans la suite ? est un ouvert borné de R3
Exercice 5.2.1 A l'aide de l'approche variationnelle démontrer l'existence intégration par partie on obtient la formulation variationnelle suivante :.
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